NonEuclid

Che cos'è la geometria non euclidea?



1.1 Geometria euclidea:

La geometria con cui abbiamo maggiore familiarità è nota con il nome di geometria euclidea. Il suo nome deriva dal nome del matematico greco  Euclide vissuto intorno al 300 prima di Cristo. Il suo libro intitolato "Gli Elementi" contiene, tra le altre cose, una raccolta di assiomi, teoremi e dimostrazioni riguardanti il quadrato, la circonferenza, i traingoli isosceli e così di seguito. Moltissimi teoremi che vengono attualmente insegnati a scuola si trovano già nel millenario libro di Euclide!
La geometria euclidea è stata, per i Greci, ed è anche oggi di grande valore nelle applicazioni; si pensi solo alla progettazione architettonica o alla topografia.

1.2 Geometria sferica:

Per geometria non euclidea si intende una qualsiasi geometria diversa da quella euclidea. Una delle geometrie non euclidee di maggiore interesse per le applicazioni è la geometria sferica ossia la geometria che si sviluppa lavorando sulla superficie di una sfera. Piloti e capitani di vascello utilizzano la geometria sferica durante gli spostamenti sulla superficie della Terra. In geometria sferica alcuni risultati possono apparire poco intuitivi. Ad esempio sapevate che il volo più breve tra la Florida e le Filippine è quello passante per l'Alaska? Le Filippine si trovano a Sud della Florida per cui non è chiara la ragione del transito attraverso l'Alaska, che si trova a Nord. Il motivo è che in geometria sferica Florida, Alaska e Filippine giacciono sulla stessa retta (appartengono allo stesso meridiano).  Un'ulteriore proprietà strana tipica della geometria sferica è che la somma degli angoli interni di un triangolo sferico è maggiore di 180. Triangoli di dimensioni ridotte come quelli che possiamo tracciare in un campo di atletica hanno angoli la cui somma è molto prossima a 180. Triangoli di dimensioni maggiori, come ad esempio quello che congiunge Torino, Roma e Venezia, hanno angoli la cui somma è significativamente maggiore di 180. Per ulteriori informazioni su questo tipo di geometria vedi la bibliografia.

1.3 Geometria iperbolica:

Il software NonEuclid simula un ambiente di geometria non euclidea piana nota come geometria iperbolica. La geometria iperbolica ha numerose applicazioni nell'ambito della matematica (ad esempio in Topologia) e in fisica (ad esempio nei modelli di universo relativistici). Discuteremo questi aspetti e questo tipo di geometria nel seguito.


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