Parallelismo

Definizione:      Due rette sono parallele se giacciono nello stesso piano e non si intersecano.

In figura la retta iperbolica BA e la retta iperbolica BC giacciono nello stesso piano e si intersecano nel punto B per cui NON sono parallele. Al contrario, la retta iperbolica DE e la retta iperbolica BA giacciono nello stesso piano ma non si intersecano per cui sono tra loro parallele.  Allo stesso modo la retta iperbolica DE è parallela alla retta iperbolica BC.  Ciò rappresenta una stranezza in quanto in geometria euclidea siamo sempre stati abituati a pensare che valesse il seguente:

Questo teorema di geometria euclidea è manifestamente falso in geometria iperbolica; infatti si ha il seguente contro esempio: sia la retta BA che la retta BC sono parallele alla retta DE mentre la retta BA non è parallela alla retta BC.  Tuttavia si potrebbe non essere convinti del fatto che le rette BA e DE sono parallele. Per convincerti osserviamo innanzitutto che le rette si estendono all'infinito. In realtà sembrerebbe l'esatto contrario! Tuttavia noi diciamo che sono infinite in quanto esse sono formate da una successione di punti che non raggiungono mai la circonferenza limite. In altri termini per noi infinito equivale a "che non ha fine". Oltre a questo ricordiamo che nei modelli di geometria iperbolica che stiamo sviluppando, anche se gli oggetti geometrici si possono avvicinare arbitrariamente al limite del piano iperbolico, la loro distanza da questo limite rimane infinita.

Anche se le rette iperboliche sono diverse dalle rette euclidee (le rette iperboliche appaiono curve) esse hanno molte proprietà in comune con queste ultime. Nella seguente lista sono elencate alcune di queste proprietà:

1. In geometria euclidea dati due punti esiste unico il minimo cammino che li congiunge e questo cammino coincide con il segmento che congiunge i punti dati. La stessa proprietà vale in geometria iperbolica.
2. In geometria euclidea due punti individuano univocamente una retta, ossia dati due punti distinti esiste un'unica retta che li congiunge. In modo del tutto analogo anche in geometria iperbolica per due punti passa una e una sola retta.
3. In geometria euclidea la luce si propaga in linea retta. Anche in geometria iperbolica i raggi di luce si propagano in linea retta solo che ora la retta è una retta iperbolica.

Accanto a proprietà comuni le rette iperboliche hanno proprietà diverse dalle rette euclidee. Ad esempio i seguenti teoremi validi in geometria euclidea sono FALSI in geometria iperbolica:

1. In geometria euclidea se due rette sono parallele ad una terza allora sono tra loro parallele.
2. In geometria euclidea rette parallele sono anche equidistanti tra loro.

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